Physique pour la médecine

...la théorie!

Imagerie par résonance magnétique (IRM)

Chapitre II: Préalables en mathématiques.

 

 

 

 

II.D. L'espace k.

 

 

 

 

1) Le nombre d'onde k.


Un cosinus (ou un sinus) est une fonction mathématique utilisée par la physique pour décrire des oscillations de toute nature, angulaires, électromagnétiques ou autres, qui se développent dans le temps ou dans l'espace. Pour une oscillation temporelle, on y injecte conventionnellement une pulsation ω, une fréquence f=ω/2π ou une période T=1/f, ainsi qu'une phase φ.


IRM IID 5


De manière analogue on utilise pour une oscillation spatiale le long d'un axe x une longueur d'onde λ, ou un nombre d'ondes k=2π/λ, ainsi qu'une phase φ.


IRM IID 6


Un bon thème de réflexion à ce sujet est fourni par l'équation des ondes progressives, qui présente les deux aspects, temporel et spatial (voir §II.A.5):


IRM IID 7


Soit par exemple des ondes circulaires créées à la surface de l'eau par la chute d'une pierre, et soit un axe x à la surface dont l'origine est au point source: Un bouchon flottant situé au point de coordonnée ξ oscillerait dans le temps selon la première équation ci-dessus, la phase étant donnée par kξ, alors qu'une photo prise en un temps τ montrerait au long de x les points se disposer selon la deuxième équation ci-dessus, la phase étant donnée par ωτ.

 

 


2) Transformée spatiale.

 

 

 

Le chapitre II.B était consacré à la transformée de Fourier et se basait pour exemple sur un signal temporel, pour lequel la transformée fournit le spectre de toutes les fréquences qui le composent


 

IRM IID 1

IRM IID 8


Les mathématiques ignorent la physique: Si le dessin de gauche ci-dessus représentait non pas un signal temporel mais un paramètre spatial, par exemple la variation d'altitude h le long d'une ligne dans un paysage montagneux, alors le dessin de droite devrait être vu comme le spectre des nombres d'ondes k qui la composent (donc la suite d'ondulations qui, par superposition, permettraient de reconstruire la ligne de paysage), au travers d'un formule analogue.

 

 


 

 

IRM IID 2

 IRM IID 9bis


 

Dans une image noir et blanc, si on en prend une ligne, le paramètre spatial serait non pas une altitude mais un niveau de gris g(x), sachant que les niveaux de gris sont en fait codés par des nombres. La même formule donnerait le spectre des k de cette ligne, qui décrirait les variations de teinte simples (en cosinus) permettant de la reconstituer.(A noter que les graphes ci-dessous sont imaginaires)

 

 

 

 

 

 

 IRM IID 3

 

 

 

3) L'espace k

 

 

 

 

Une image est une portion de plan où les variations de teinte se développent selon les deux dimensions x et y. Décrire cela par transformée de Fourier suppose, en termes de nombres d'ondes, l'usage de composantes kx et ky dont la représentation passe par ce qu'il est convenu d'appeler le plan k, ou l'espace k (… espace qui en imagerie 3D monte d'ailleurs à trois dimensions).

 


IRM IID 4 bis 

 

 

 

L'analyse d'une image par transformée de Fourier ne se fait pas ligne par ligne comme pourrait le faire croire le paragraphe précédent, mais elle se fait en une fois, globalement, par la technique dite "transformée de Fourier 2D" qui traite en une seule formule les deux dimensions x et y.

 

 

 

[

 

La formule est la généralisation de ce qui a été vu ci-dessus, au §2:

 IRM IID 10

]

 

Les propriétés du plan des k sont multiples: Ses moitiés haute et basse, ou gauche et droite ne sont pas identiques mais peuvent être reproduites au départ l'une de l'autre, ce qui est parfois exploité en IRM pour raccourcir le temps d'acquisition. Toute portion du plan contient de l'information sur l'entièreté de l'image (un peu comme un morceau d'hologramme en optique) et, inversement, l'information sur toute portion de l'image se voit répartie sur l'entièreté du plan des k. Par ailleurs la région centrale, qui contient l'origine des axes, comprend par définition les basses valeurs de nombre d'ondes, donc les hautes valeurs de longueur d'ondes, ondulations larges qui décrivent les grandes régions de base de l'image, alors que la périphérie du plan reprend les hautes valeurs de k, donc les faibles longueurs d'onde, ondulations courtes qui gèrent les détails fins de l'image. Au centre les grandes tendances souvent d'amplitude élevée, en périphérie les corrections fines qui ne demandent souvent que de faibles amplitudes. Bref: au centre le contraste, en périphérie la résolution.

Il est bon enfin de rappeler que le traitement numérique de tout cela exclut les distributions continues mais passe à chaque étape par une série de nombres: Si une image se découpe en pixels, le plan des k doit être lui aussi vu comme une matrice de nombres stockés en mémoire, et les intégrales d'une transformée de Fourier passent en réalité par des sommes finies sur l'information disponible.

 

4) …en IRM

 

La notion d'espace k n'est pas propre à l'IRM mais concerne le monde du traitement des images en général. En IRM toutefois son statut est particulier en ce sens que c'est le plan k qui est d'abord alimenté lors de l'acquisition des données et que l'image anatomique est ensuite reconstruite par transformée de Fourier 2D inverse (les données brutes enregistrées par échantillonnage du signal ne donnent pas directement les kx et ky mais on peut montrer, comme cela sera fait au chapitre V.A, qu'un changement de variables simple aboutit à ce résultat). Le plus intéressant est qu'une bonne maîtrise de la question a permis de développer des techniques d'acquisition rapide de l'image IRM: balayage du plan k par spirale, par escalier ou autre, sans avoir pour ambition de le remplir complètement, l'important étant que chaque information k concerne l'entièreté de l'image et que dès lors la qualité finale de celle-ci dépend avant tout de la distribution des informations, moins de leur quantité (voir Ch.???)