Physique pour la médecine

...la théorie!

Radiothérapie

Chapitre III: Faisceaux   externes: Appareillage.

 

 

III.C. Cyclotron.

 

 

1)Principe de base: rappel.

 

 

On trouvera au chapitre IB du sujet "médecine nucléaire", un exposé sur le principe de base du cyclotron, tel qu'imaginé par E.O.Lawrence au début des années 1930. Le chapitre en question parle de la production de radio-isotopes par réactions nucléaires entre des ions accélérés par la machine et une cible donnée. Or, la production d'isotopes ne demande souvent qu'une énergie relativement faible (les petits cyclotrons proposés pour cet usage aux hôpitaux qui peuvent se le permettre se limitent à quelques 10 ou 15MeV), ce qui n'est pas le cas en radiothérapie où il faut monter à 200MeV en protons par exemple pour pénétrer jusqu'à 25cm en profondeur. Le présent chapitre se propose d'aller plus loin que le schéma de base et d'exposer les perfectionnements qui permettent d'atteindre ce niveau.

Pour rappel, le premier cyclotron imaginé par Lawrence est fait de deux dés (demi-camemberts!) métalliques soumis à une différence de potentiel U et plongés dans un champ magnétique B. Des ions issus d'une source logée au centre de la machine sont accélérés une première fois vers un dé et, à cause du champ magnétique, y décrivent un demi-cercle. Lorsqu'ils se présentent de nouveau dans l'intervalle entre le deux dés, U a changé de signe, ce qui permet de les accélérer à nouveau. Arrivés dans le deuxième dé, ils y décrivent un demi-cercle de rayon supérieur, et ainsi de suite: A chaque demi-tour, U est inversé et les ions sont accélérés un peu plus ce qui, dans le champ magnétique, les amène vers des trajectoires de plus en plus larges. Lorsqu'ils arrivent en périphérie, les ions sont extraits de la machine pour former le faisceau utile. Dans la figure ci-dessous, les couleurs supposent pour les ions une charge négative.

 

RadTher IIIC 1 


Au départ de tout raisonnement sur le fonctionnement du cyclotron, il y a l'équation du mouvement circulaire: La force centripète qui en est responsable est ici la force magnétique F=qvB, où q et v sont la charge et la vitesse de l'ion. Etant donné que l'accélération centripète vaut a=v²/r, où r est le rayon de la trajectoire, l'équation de Newton F=ma donne:

 

 RadTher IIIC 7

 

La fréquence f de rotation des ions est égale à la vitesse angulaire ω=v/r divisée par 2π: f=ω/2π=v/2πr, et donc:

 

 RadTher IIIC 8

 

 Le côté remarquable de cette équation est qu'elle ne dépend ni de la vitesse des particules ni du rayon de leur trajectoire. Etant donné que la fréquence avec laquelle il faut alterner la polarité est directement liée à celle des ions, il apparaît donc qu'elle peut rester constante depuis la source jusqu'à l'extraction. Le fonctionnement est dit isochrone.

En réalité le fonctionnement isochrone simple ne fonctionne qu'à faible énergie car, comme on le voit, f dépend par contre de la masse, et la masse augmente avec la vitesse v selon la loi relativiste:

 

 RadTher IIIC 9

 

(Le paramètre m0 représente la masse au repos de la particule, p.e. 938,27 MeV/c² pour le proton).

Pour compenser cela il faudrait, comme le montre la formule pour f ci-dessus, soit augmenter le champ B, par exemple en fabriquant des pôles d'aimant qui se rapprochent d'autant plus que le rayon augmente, soit ralentir l'alternance en tension d'accélération au fur et à mesure que les particules accélèrent. Cependant, l'une et l'autre solution se heurtent à d'autres considérations importantes, ce qui fera l'objet du §2.

 

N.B.: Conventions.

Pour faciliter le raisonnement, on conviendra que le pôle nord de l'aimant se trouve en-dessous et le pôle sud au-dessus, en rappelant que les lignes champs sont orientées du nord vers le sud.


RadTher IIIC 2 

 

  • Par ailleurs, ce genre de problème est le mieux décrit par un système de coordonnées polaires cylindriques r, θ, z, associées aux trois directions radiale, azimutale (l'angle polaire θ est parfois appelé azimut) et axiale. L'origine des axes doit ici être vue au centre de la machine.

 

RadTher IIIC 3

 

  • L'opération "produit vectoriel" apparaîtra plusieurs fois dans ce qui suit, au travers de la force magnétique qui est donnée par la charge, grandeur scalaire, multipliée par le produit vectoriel de la vitesse et du champ.

 

RadTher IIIC 10

 

  • Cette loi se développe dans l'espace à trois dimensions puisque v et B forment un plan et que F est perpendiculaire à ce plan. Il existe plusieurs règles pour retrouver l'orientation de la force au départ de la vitesse et du champ, la plus répandue étant la règle des trois doigts. Ci-dessous, c'est plutôt la règle de la main droite qui sera proposée, plus facile (?) et plus générale: La main droite incurvée évoque un sens de rotation qui doit amener v sur B par le chemin le plus court; le pouce levé pointe alors dans le sens de F.

 

 

2)Le problème de la focalisation.

 

La conception de cyclotrons capables de monter vers les 100MeV et au-delà se heurte à certains problèmes inhérents. Le plus simple à comprendre mais sans doute aussi le plus difficile à gérer provient du poids en fer que représentent les pôles d'aimant, poids qui devient véritablement prohibitif au-delà de certaines dimensions. L'accélérateur circulaire dit "synchrotron" permettra de résoudre cela et de monter très haut en énergie.

Le second problème est le problème de la phase, qui doit rester plus ou moins la même pour les particules d'une part et pour le champ électrique d'accélération d'autre part. On a vu ci-dessus qu'à basse énergie la phase était conservée par simple isochronisme dans la giration, mais à haute énergie ce n'est plus aussi facile, ne fut-ce que par l'augmentation relativiste de la masse.

Il y a enfin le problème de la focalisation, qui n'a pas été évoqué jusqu'ici mais qui est omniprésent. Il vient de ce que les ions qui quittent la source au centre de la machine ne sont que rarement émis exactement dans le plan de symétrie de l'aimant. Le plus probable est qu'ils possèdent une composante de vitesse orientée vers le haut ou vers le bas et que dès lors, si rien ne s'y oppose, ils finissent inévitablement par se perdre dans la masse métallique d'un des deux pôles. Pour compenser cette divergence des trajectoires il faut quelque chose qui les rabatte vers le plan de symétrie.

La divergence du faisceau à la source était bien entendu présente dès les premiers modèles de cyclotron, mais il se fait que la nature, dans sa bonté, a fourni d'elle-même une solution aux pionniers de la technique, sans qu'ils aient à se poser trop de questions. Dans l'entrefer d'un aimant à pôles plats, les lignes de champ s'incurvent peu à peu vers l'extérieur au fur et à mesure qu'on approche des bords. Dans une ligne courbée, la composante principale reste la projection axiale Bz, mais il apparaît une composante radiale Br d'autant plus forte qu'on s'approche des pôles et dont on peut facilement se convaincre qu'elle induit toujours une force de rappel vers z=0. (Dans le schéma de droite ci-dessous, la vitesse azimutale doit être vue comme sortant du dessin vers nous)

 

RadTher IIIC 4 

 

Une particule qui se dirige vers un des pôles se voit rappelée vers le plan de symétrie, le traverse, se dirige vers l'autre pôle mais est à nouveau rappelée dans l'autre sens, et ainsi de suite. Son mouvement en z est donc sinusoïdal, mouvement d'oscillation qui se superpose à la rotation en spirale selon (r,θ).

L'apparition de Br lorsqu'on approche des bords s'accompagne d'une diminution concomitante de Bz et inversement, ce qui explique qu'on ait construit des machines avec des pôles d'aimant conçus de manière à accentuer la diminution de Bz et donc l'apparition de Br. Cela dit, si Bz diminue, la rotation des ions se ralentit et ils ne sont plus tout à fait en phase avec le champ électrique d'accélération. Pour les machines d'énergie basse l'effet de déphasage reste acceptable mais à haute énergie il entraîne une baisse de performance globale. Par ailleurs la diminution de Bz selon r présente un sérieux problème lorsque pointe l'effet relativiste d'augmentation de la masse, puisque pour compenser ceci il faudrait, à l'inverse, une augmentation radiale de Bz.

Le fait que la diminution radiale de Bz accompagne l'apparition de Br n'est pas un problème technique mais une propriété de fond du champ magnétique. L'une des équations de Maxwell s'écrit:

 

RadTher IIIC 11

 

…où le membre de gauche est le rotationnel du champ magnétique et où le vecteur j représente la densité de courant locale. Or celle-ci est nulle, de même que le champ électrique, ceci d'autant que les dés où se meuvent les ions jouent le rôle de cage de Faraday. On a donc:


RadTher IIIC 12 

 

Le schéma du milieu ci-dessus montre que le champ radial diminue selon z. Il en est donc de même du champ axial selon r.

 

3) Le synchrocyclotron.

 

Le synchrocyclotron a proposé un temps une solution au problème évoqué ci-dessus dans une gamme d'énergies relativistes pouvant aller jusqu'à quelques centaines de MeV. Dans ce type de machine, un gradient de champ décroissant vers l'extérieur est conservé de manière à assurer la focalisation axiale du faisceau. L'adaptation aux valeurs de masse croissantes se fait par ralentissement de la fréquence f=qB/2πm au fur et à mesure de l'accélération. Une fois les particules extraites, la fréquence remonte à sa valeur initiale puis diminue à nouveau.

Selon ce principe, seul un petit paquet d'ions peuvent être accéléré sur un cycle de variation de f, à savoir ceux qui restent d'un bout à l'autre synchrones avec la tension V. Tous les autres sont perdus, ce qui réduit le courant utile d'un ou deux ordres de grandeur par rapport à un cyclotron classique.

 

4)Le cyclotron à variation azimutale.

 

Le modèle de cyclotron actuel est le cyclotron à variation azimutale du champ magnétique, qui parvient à rencontrer simultanément les aspects d'isochronisme, de masse relativiste et de focalisation axiale.

Ce type de machine en revient à une fréquence f constante, ce qui facilite l'isochronisme et permet de maintenir des courants faisceaux importants.

Le problème de la masse relativiste est résolu en adoptant un gradient de champ radial positif plutôt que négatif: Bz augmente avec la distance au centre, donc avec l'énergie acquise.

Le problème est que, comme discuté au §2, une variation positive de Bz avec r s'accompagne d'une variation positive de Br avec z. La courbure des lignes de champ se fait non plus vers l'extérieur mais vers l'intérieur et les forces en z deviennent défocalisantes au lieu d'être focalisantes. La solution apportée ici se comprend au travers de la règle de la main droite (ou règle des trois doigts) appliquée au produit vectoriel vitesse x champ: Pour obtenir des forces selon z, la combinaison d'un champ radial Br et d'une vitesse azimutale vθ n'est pas la seule possibilité; on peut aussi combiner un champ azimutal Bθ et une vitesse radiale vr. Or, il n'y a pas de champ azimutal pour un aimant à pôle plat, et il n'y a pas de vitesse radiale pour des trajectoires circulaires. Pour les faire apparaître, on divise l'aimant en portions de forme "parts de tarte". Une portion sur deux présente un entrefer plutôt étroit donc un champ plutôt intense (on parle de "collines"). Dans les autres l'entrefer est plus large donc le champ plus faible (les "vallées"). Une colline et une vallée forment un secteur. Une machine peut comporter quatre secteurs, ou huit,…

 

 RadTher IIIC 5

 

La courbure des trajectoires est plus forte sur les collines que dans les vallées. Elles ne sont donc plus circulaires, ce qui fait apparaître une composante radiale vr de la vitesse. Par ailleurs, la transition d'une colline à une vallée ou d'une vallée vers une colline marque une brusque variation du champ axial Bz, ce qui s'accompagne d'une courbure des lignes de champ vers l'extérieur des collines et donc d'une composante de champ Bθ azimutale. A l'entrée comme à la sortie des collines, les forces axiales qui en découlent sont focalisantes (Dans le dessin ci-dessous, les particules proviennent de la droite et s'éloignent par la gauche, comme on le vérifiera avec la règle de la main droite sur le champ principal et le sens de rotation. A droite, la vitesse radiale sort donc du dessin vers nous, alors qu'à gauche elle est rentrante).

 

RadTher IIIC 6

 

En pratique, les secteurs ont souvent une forme spiralée. Par ailleurs il existe des cyclotrons, plutôt de grande taille, où l'aimant principal n'existe pas: Les collines sont formées par des dipôles magnétiques isolés et les vallées sont à champ nul (les trajectoires des ions sont donc rectilignes sur ces portions).