Physique pour la médecine

...la théorie!

Echographie

Chapitre III:   Echo-   Doppler

 

 

III.A. L'effet Doppler.

 

1)Principe.

 

Soit une onde émise d'un point S (la source) et captée en un point R (le récepteur). Si S et R sont immobiles l'un par rapport à l'autre, le récepteur perçoit une fréquence fR égale à la fréquence fS émise par la source. Par contre s'il y a mouvement relatif de l'un par rapport à l'autre, fR n'est plus égale à fS: Elle est plus élevée si S et R se rapprochent, et plus basse si S et R s'éloignent. C'est l'effet Doppler.

L'effet Doppler acoustique peut s'expérimenter dans différentes circonstances de la vie quotidienne. Par exemple lors d'un reportage TV sur un Grand Prix F1, et pour peu que le reporter se trouve à proximité de la piste, le bruit de moteur d'un bolide qui s'approche paraît plutôt aigu… pour glisser brusquement vers les basses lorsqu'il passe près du micro et s'éloigne.

L'effet Doppler optique a connu son heure de gloire en astronomie, puis en cosmologie, en apportant ni plus ni moins qu'un des grands arguments à l'appui de la théorie du big bang: La lumière émise par les galaxies lointaines est décalée vers le rouge (red shift), et ce d'autant plus qu'elles sont plus éloignées, ce qui veut dire qu'elles s'éloignent toutes les unes des autres et que donc l'univers est en expansion.

Supposons dans un premier temps un mouvement relatif aligné sur la droite qui joint S et R. En notant c la vitesse de l'onde, vS la vitesse (éventuelle) de la source et vR la vitesse (éventuelle) du récepteur, le lien entre fR et fS est donné par l'équation suivante, qui sera démontrée au §2:

 

Echogr ChIIIA 5


…où les signes supérieurs valent pour un rapprochement et les signes inférieurs pour un éloignement. Ce qu'on appelle la fréquence Doppler fD est la différence entre fR et fS:

 

Echogr ChIIIA 6

 

Dans le cas de l'échographie du corps humain, l'effet Doppler est surtout utilisé en imagerie vasculaire, où les cellules sanguines servent de réflecteur à l'onde ultrason. La vitesse du sang est au plus de 2m/s, valeur très faible comparée aux 1540m/s pour la propagation de l'onde, de sorte que par rapport à c, vR peut être négligé au dénominateur:

 

Echogr ChIIIA 7

 

Par ailleurs, ce qui est particulier à l'échographie, c'est que l'effet joue deux fois: A l'aller de l'onde, la source est la sonde immobile (vS=0) et les cellules mobiles du sang le récepteur, ou plutôt… le réflecteur, alors qu'au retour l'onde est issue de ces cellules réflectrices et captée par la sonde immobile (vR=0). On a donc la somme de deux contributions:

 

Echogr ChIIIA 8 


Cela restitue la formule précédente, mais on aurait tort d'en oublier la raison! Pour cette même raison, la vitesse v du sang est celle vR du récepteur à l'aller, comme celle vS de la source au retour:

 

Echogr ChIIIA 9


Enfin lorsque la veine, ou l'artère, est inclinée d'un angle θ par rapport à la ligne source/réflecteur, c'est la seule projection de v sur cette ligne qui doit intervenir. En prenant θ=0° pour un flux dirigé vers la source, on peut oublier le signe ± puisque cos0°=+1 pour un flux orienté vers la sonde, et cos180°=-1 pour un flux orienté à l'opposé.

 

Echogr ChIIIA 10 


 Echogr ChIIIA 1

 

L'effet est donc maximum, en valeur absolue, pour θ=0° ou 180°; il est nul pour un alignement du vaisseau perpendiculaire à la direction du faisceau. S'il y a plusieurs vaisseaux dans le champ de vue, impliquant des vitesses et inclinaisons différentes, le signal est moyenné et l'information ambigüe, ce qui suppose qu'on privilégie les situations où un seul canal intervient ou domine les autres.

 

2)Démonstration.

 

Il s'agit ici de démontrer la toute première formule ci-dessus. Nous adoptons le cas très particulier d'un rapprochement franc (θ=0°) de la source et du récepteur, en précisant que, pour généraliser, il suffira de remplacer les vitesses v par leur projection vcosθ sur la direction qui relie R et S.

 

a.Source au repos, récepteur en mouvement

 

Quand la source et le récepteur sont au repos, ce dernier reçoit l'onde à la même fréquence que la fréquence d'émission. Si R se met en mouvement vers S, supposé restant au repos (vS=0), il perçoit sur son chemin des ondulations supplémentaires, ondulations qui lui seraient parvenues plus tard s'il était resté immobile.

 

Echogr ChIIIA 2 

 

Le nombre d'ondulations supplémentaires qu'il perçoit par seconde représente par définition l'augmentation de la fréquence de perception, donc la fréquence Doppler fD. Ce nombre est égal à la distance qu'il parcourt en une seconde (d=vRt=vR pour t=1s), divisée par la longueur d'une ondulation (longueur d'onde λ). Comme on le voit sur le schéma ci-dessus, il s'agit bien de la longueur d'onde émise, égale donc à la vitesse c de l'onde divisée par la fréquence d'émission fS.

 

Echogr ChIIIA 11 


De là:

 

Echogr ChIIIA 12

 

b.Source en mouvement, récepteur au repos.

 

Quand S se déplace à la vitesse vS vers R supposé immobile, la longueur d'onde envoyée vers R diminue, comme le montre le schéma ci-dessous. Etant donné que la vitesse c de l'onde est inchangée, la période T=λ/c sera plus faible à la réception qu'à l'émission.

 

Echogr ChIIIA 3 

 

Soit alors deux maximums de l'onde émis l'un à t=0 et l'autre à t=TS, où TS est donc par définition la période à l'émission. Pendant ce temps la source a parcouru la distance x=vSTs.

 

Echogr ChIIIA 4 

 

Pour atteindre R, le deuxième maximum doit parcourir une distance diminuée de x, ce qui lui demande un temps diminué de ΔT=x/c. On a donc:

 

Echogr ChIIIA 13

 

Le récepteur R perçoit ainsi deux maximums consécutifs en un temps TS diminué de ΔT, ce qui donne la période perçue TR:

 

Echogr ChIIIA 14 


Ou en termes de fréquences f=1/T :


Echogr ChIIIA 15

 

c.Généralisation

 

Si à la fois la source et le récepteur sont en mouvement de rapprochement l'un vers l'autre, on obtient, en combinant les résultats des § a et b:

 

Echogr ChIIIA 16

 

S'il y a non pas rapprochement mais éloignement, il y a lieu de changer les signes qui apparaissent dans la parenthèse ci-dessus. De façon générale, si les vitesses sont inclinées d'un angle θ, ce sont leurs projections vcosθ qui doivent apparaître dans la formule, en prenant pour θ=0° la direction qui pointe de S vers R (pour vS) ou de R vers S (pour vR).