Physique pour la médecine

...la théorie!

Imagerie par   résonance magnétique (IRM)

Chapitre III:Résonance   magnétique.


 


III.A Protons dans un champ


 

L’imagerie par résonance magnétique (IRM) s’attache quasi exclusivement à cartographier dans le corps humain la présence du proton, donc de l’atome d’hydrogène. Il y a des exceptions, comme l’usage de l’hélium pour l’imagerie des poumons, mais elles seront vues plus tard. L’hydrogène est un constituant de l’eau, le matériau le plus abondant dans le corps humain, mais aussi des graisses et à vrai dire, en proportion plus ou moins faible, de toutes les molécules biologiques. Sauf indication du contraire, la théorie exposée dans les chapitres qui suivent se base sur la physique du proton.

 


1) Le proton

 

Contrairement à l’électron qui apparaît aujourd’hui comme un élément ultime de la matière, le proton quant à lui est un objet composé de trois particules plus fondamentales, des quarks. Cet aspect des choses n’aura à vrai dire pas trop d’importance dans la suite.

Du point de vue électrique le proton est ce qu’on appelle un monopôle, c’est-à-dire une charge unique dont il suffit de préciser la valeur : e=+1,6 10-19C. En tant que charge électrique il obéit à un champ électrique imposé de l’extérieur, mais il génère aussi un champ électrique qui lui est propre.

Du point de vue magnétique le proton est un dipôle, ce qui l’apparente à un petit aimant doté d’un pôle nord et d’un pôle sud. Un dipôle est un objet physique un peu plus compliqué qu’un simple nombre; c’est un vecteur, orienté du pôle sud vers le pôle nord si on adopte l’image de l’aimant, et dont la norme, le moment magnétique dipolaire du proton, vaut µ=1,411 10-26 J/T (§I.F.3). En tant que dipôle magnétique, il obéit à un champ magnétique imposé de l’extérieur, mais il génère aussi un champ magnétique qui lui est propre et qui a toutes les caractéristiques du champ créé par un aimant (§I.A.1).

Le proton a aussi une caractéristique mécanique, à savoir un moment cinétique intrinsèque qu’on appelle le spin, un objet de type vecteur lui aussi. Le spin du proton est un spin ½ (§I.E.3) ce qui le range dans la catégorie des fermions.

Le moment dipolaire du proton est exactement aligné sur son spin, a la même orientation (ce qui vient de sa charge positive), et lui est complètement solidaire (si l’un change de direction, l’autre l’accompagne). On se représente souvent la chose comme un objet qui tourne sur lui-même, d’où la présence d’un moment cinétique, et qui étant chargé génère des boucles de courant, ce qui explique le moment magnétique. L’image est excellente à condition de garder à l’esprit son côté naïf : Comme signalé précédemment le photon présente un spin alors qu’il n’a pas de masse et le neutron est électriquement neutre mais possède un moment magnétique.

Le moment magnétique est lié au spin par la relation µ=γpS où γp est le rapport gyromagnétique (§I.F.3 : γp = 2,675 108 rad.s-1.T-1 = (2π) 42,576 MHz/T).


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2) Protons en l’absence de champ.

 

S’agissant ensuite d’envisager le comportement d’un grand nombre de protons dans une portion d’espace limitée, la première étape consiste à voir ce qu’il en est lorsque cette région n’est soumise à aucun champ magnétique en provenance de l’extérieur. Dans ce cas c’est l’agitation thermique qui mène la danse. Les vibrations moléculaires, les rotations, les chocs fréquents modifient constamment l’orientation des dipôles. Il en résulte pour tous ces dipôles une distribution angulaire complètement désordonnée. Quelle que soit la direction de l’espace on en trouvera statistiquement autant orientés dans un sens que dans l’autre. En particulier si les positions spatiales sont repérées au travers d’un système d’axes x, y et z, la somme des projections de l’ensemble des vecteurs moments dipolaires selon chacun de ces axes sera globalement nulle.

En notant M la somme vectorielle des moments µ de tous les protons, la conclusion est qu’il s’agit du vecteur nul M=0.


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S’il est vrai que chaque dipôle produit localement, à l’échelle microscopique, un champ magnétique, le champ global, macroscopique est nul puisque le désordre complet implique sur l’ensemble des champs locaux une somme vectorielle nulle. De façon générale on gardera définitivement à l’esprit que la valeur de M est une mesure du champ magnétique interne produit par l’ensemble des protons.

 

3) Protons dans un champ constant.

 

La situation change lorsque la population de protons se voit imposer un champ extérieur B0, supposé constant et définitivement orienté selon l’axe des z. Selon les règles de la mécanique quantique les spins des protons ne peuvent avoir pour projection selon z que deux valeurs très précises (§I.E.3 et 4), à savoir ±½ en unité h. La projection Sz=+1/2 correspond à une orientation dans le sens du champ, dite orientation UP, alors que la projection inverse Sz=-1/2, la projection DOWN, est en sens inverse de B0. Etant donné que le spin a une norme S=√3/2=0,87 plus grande que ½, il est obligé de rester incliné par rapport à z sous un angle de 54,7°.


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Le moment dipolaire µ du proton a la même orientation que le spin, mais il se voit imposer par B0 un couple de force C=µΛB0 qui oblige le tout à décrire un mouvement de précession autour de l’axe z (§I.G.2). Ce mouvement de toupie se fait à la fréquence de Larmor fL=2πγpB0, qui dépend du facteur gyromagnétique et de la valeur du champ. Cela est vrai aussi bien pour les protons up que pour les protons down.


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L’énergie de couplage des protons up avec le champ est une énergie négative de liaison Eup=-µzB0 (§I.H.1). L’énergie de couplage des protons down a la même valeur, mais en positif Edown=+µzB0. La différence entre les deux dépend directement de la fréquence de Larmor, donc… du rapport gyromagnétique : ΔE=2µzB0=hfL=(h2π)γpB0  (§I.H.1)

A l’échelle macroscopique, de petits aimants s’aligneraient tous dans la direction du champ. A l’échelle microscopique il y a presque autant de «  down » que de « up », paradoxe qui a été discuté au §I.H.3. La proportion entre le nombre de up et de down est donnée par la loi d’équilibre thermique de Boltzmann :


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…où µz=µ cosθ (µ=1,411 10-26 J/T et θ=54,7°). En prenant B0=1,5T, valeur assez commune, et T=300K (soit 27°C, ce qui correspond… à une belle journée d’été !), on obtient ndown/nup=0,999994 ou, inversement, nup/ndown=1,000006. L’excédent de up par rapport aux down est seulement de 6 unités par million! Cette différence, aussi légère soit-elle, est à l’origine du signal RMN. On constate au passage qu’elle augmente avec la valeur de B0, ce qui explique la tendance très actuelle (2012) d’aller vers des imageurs à haut champ. (On peut considérer que dans les valeurs accessibles, le signal est grosso-modo proportionnel au champ. Ainsi pour B0=3T, le signal est double de ce qu’il est à 1,5T)

Pour en revenir au système d’axes de référence où z est désormais confondu avec la direction de B0, les moments magnétiques y seront décrits non pas par leurs trois composantes x,y et z mais par deux projections : la première sera la composante µz selon z, déjà utilisée plus haut dans la discussion sur les énergies ; la seconde sera la projection µxy dans le plan (x,y), étant entendu qu’elle y tourne constamment à la fréquence de Larmor des protons.


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La somme des moments dipolaires µ est le vecteur M défini au paragraphe précédent. Sa valeur marque la présence à l’échelle macroscopique d’un champ magnétique interne produit par les protons. Sa composante z, Mz=∑µz est appelée magnétisation longitudinale ; sa projection dans le plan xy, Mxy=∑µxy , tournant à la fréquence de Larmor, est dite magnétisation transversale. Ce qui est important en conclusion de ce paragraphe ce sont les valeurs de Mz et Mxy en présence d’un champ constant orienté selon z. Il apparaît que :

1°) L’aimantation longitudinale Mz est non nulle. Cela vient de l’excédent de protons up sur les protons down, excédent évalué ci-dessus à 4 par million et par Tesla.


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Il peut paraître étrange de parler d’un excédent de quelques protons pour justifier une quantité censée facilement mesurable à notre échelle. L’explication tient bien sûr dans le nombre d’Avogadro N0=6 1023 mole-1 : Pour une mole d’eau (18g), et se rappelant que chaque molécule comprend deux atomes d’hydrogène, on obtient un excédent de 4 10-6(2X6 1023)≈5 1018 protons par Tesla !

2°) L’aimantation transversale Mxy est nulle. En effet, s’il est vrai que les mouvements de précession se font tous à la même vitesse, il reste que les phases de ces mouvements sont complètement désordonnées car aucune règle n’oblige les protons à tourner de manière cohérente. A tout moment, quelle que soit la direction envisagée dans le plan (x,y), on trouvera toujours autant de µxy orientés dans un sens que dans l’autre.


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4) Le champ de résonance

 

L’étape suivante consiste à allumer dans une direction quelconque à l’intérieur du plan (x,y) un champ B1 beaucoup plus faible que B0 (quelques dixièmes de…milli-Teslas !) mais oscillant très exactement à la fréquence de Larmor des protons. Ce champ est fourni par une antenne émettrice telle que décrite au §I.D.1 (partie gauche de la figure ci-dessous). Il a aussi été montré au §I.D.2 qu’un champ de ce type est équivalent à un champ tournant dans le plan transverse à la même vitesse que les protons (partie droite de la figure).


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Il y a résonance puisque la différence d’énergie entre les niveaux up et down dépend très précisément de la fréquence de Larmor (§I.H.1). Comme dans tout phénomène de résonance le système récepteur absorbe de l’énergie fournie par l’agent extérieur, ce que connaissent tous les papas qui ont poussé leur enfant sur une balançoire. Dans le cas qui nous occupe les protons situés dans le niveau d’énergie bas, niveau up, opèrent la transition vers le niveau haut, le niveau down. Dès lors l’excès de up par rapport aux down se réduit, et si le processus continue on constatera même progressivement un excès de downs. Donc l’aimantation longitudinale Mz diminue progressivement, s’annule puis change de signe et grandit à nouveau.

 

5) Le mur de la complexité

 

Il apparaît en réalité que lors de la résonance, c’est le vecteur M dans son entier qui pivote depuis l’axe z vers le plan (x,y) puis vers la direction –z. De ce fait, non seulement Mz diminue, s’annule puis s’inverse, mais l’aimantation transversale Mxy quant à elle suit le chemin inverse : De nulle qu’elle était, elle augmente progressivement, prend la valeur maximum Mxy=M quand le vecteur M à tourné de 90°, puis diminue à nouveau.

Il n’est pas évident d’expliquer ce comportement de Mxy. Dans un premier temps bien sûr le sens commun y trouve son compte : Il semble naturel d’admettre que la résonance impose aux protons de se mettre à tourner en phase alors qu’au départ le désordre dans les rotations était complet. Et de fait, si les protons tournent en phase les projections des µ dans le plan transverse s’additionnent de manière cohérente alors qu’au départ cette somme était statistiquement nulle.


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Il reste qu’il faudrait expliquer pourquoi Mxy diminue ensuite alors que la résonance se poursuit. Cela serait possible et ne ferait qu’utiliser des notions déjà développées précédemment mais la démarche serait inutilement longue en regard de l’objectif visé. L’exemple suivant peut nous en convaincre : Pourquoi est-ce que Mz diminue ? Parce que les protons up basculent en down. Pourquoi en est-il ainsi ? Parce que B1 impose un couple de force dans le plan qui lui est perpendiculaire, ainsi que le faisait B0 pour en arriver au mouvement de précession de type toupie. Seulement voilà : Dans le mouvement de précession toutes les inclinaisons par rapport à l’axe sont autorisées, ce qui induit une rotation continue de type mécanique classique . Par contre dans le plan perpendiculaire à B1 il n’y a que deux positions permises, la up et la down, et la transition de l’une à l’autre obéit aux lois de la mécanique quantique. En particulier, la probabilité de passage d’un état à l’autre, étape obligatoire vers un calcul de la vitesse de rotation de M, supposerait un long détour par les règles quantiques, ce qui est excessif dans le cadre d’une bonne compréhension de l’IRM. Pour franchir un mur de cette sorte, le mieux est de se confectionner une échelle, que voici :

Les deux principes suivant se révéleront très riches pour bien comprendre l’IRM. On les admettra comme tels, encore que le premier utilise une notion connue, et que le second fasse appel à l’intuition commune :

1°) La magnétisation globale M précesse autour de B1 de la même manière que les moments magnétiques µ des protons précessent autour de B0. La loi est identique et dépend du rapport gyromagnétique γp. Donc pour la vitesse angulaire de rotation de M autour de B1 on a simplement :

 

ω1 = γp B1

 

Bien entendu, puisque B1 est beaucoup plus faible que B0 la vitesse en question est très inférieure à celle des protons individuels, ce qui sera discuté ci-dessous. Par ailleurs, étant donné que M pivote autour d’un champ qui est lui-même un champ tournant dans le plan (x,y), l’extrémité du vecteur décrit en réalité une spirale à la surface d’une sphère :


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2°) Lorsqu’il apparaît une aimantation transversale Mxy non nulle, c’est forcément qu’un certain nombre de protons se mettent à tourner en phase. Inversement si le signal transverse diminue, cela ne peut s’expliquer que par le fait que, pour une raison ou pour une autre, des déphasages apparaissent progressivement. Et si Mxy s’annule, c’est que le plus complet des désordres s’est imposé dans les mouvements de précession, ce qui est après tout la configuration de départ. La figure ci-dessous illustre cela : La première partie montre la somme vectorielle de magnétisation pour des protons bien en phase ; la deuxième partie montre ce qu’il en est pour un début de déphasage ; dans la troisième partie les déphasages sont importants et la somme réduite à peu de choses ; l’étape ultime, qui n’est pas illustrée ici, serait une somme nulle due à un désordre complet.


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6) L’impulsion 90°

 

L’idée de base d’une mesure IRM est donc la suivante : Une antenne émettrice est disposée dans le plan transverse. Au moment choisi cette antenne est activée de façon à générer B1 et de là basculer M et faire apparaître une aimantation transverse Mxy. Lorsque la rotation de M a atteint un certain angle, l’antenne s’arrête d’émettre et devient réceptrice : L’aimantation Mxy qui tourne devant elle y induit un signal mesurable (§I.D.2). Il n’est pas obligatoire que l’émission et la réception soient le fait de la même bobine mais c’est très souvent le cas, et on ne peut s’empêcher à ce niveau d’y trouver une analogie avec l’échographie. En échographie aussi la sonde émet un bref signal pour se mettre ensuite à l’écoute de l’effet engendré, en l’occurrence les échos qui lui reviennent en provenance du milieu. En échographie aussi le même appareil peut servir à l’émission et à la réception, l’effet piézo-électrique étant inversible.

De quel angle le vecteur M sera-t-il basculé ? Il est parfois intéressant de choisir une bascule complète à 180° comme il sera vu plus loin. L’IRM rapide, et même très rapide, qui prévaut actuellement privilégie les angles petits, ce qui ne sera étudié que beaucoup plus tard. A vrai dire, le b-a-ba de l’IRM est une rotation à 90°, telle donc que l’aimantation longitudinale s’annule complètement et soit intégralement transformée en aimantation transversale. Mz devient Mxy et sera donc ainsi mesuré. Par ailleurs la loi pour l’angle de bascule est facile à trouver puisqu’on a donné ci-dessus la vitesse angulaire ω1 :

 

θ = ω1t = γp B1t

 

Dans cette équation, γp = 2,675 108 rad.s-1.T-1 est une constante, t est la durée de l’impulsion envoyée dans l’antenne, et B1 est liée à la hauteur de cette impulsion puisque le champ généré par une bobine dépend de l’intensité du courant qu’on y injecte. L’angle θ dépend donc de la hauteur de l’impulsion multipliée par sa longueur, autrement dit de sa surface. On obtient le même effet avec un courant intense et bref qu’avec un courant faible mais long.

Exemple : Pour obtenir une rotation à 90°, soit π/2, avec une impulsion de 50µs, l’intensité de B1 doit être de 1,17 10-4T.

A vrai dire les impulsions 90° en IRM ne sont pas de type rectangulaire (intensité x temps). Elles ont l’allure de ce qu’on appelle une fonction sinc ou « sinus cardinal » (sinc(x)=sin(x)/x). Cette forme curieuse s’explique dans le cadre du codage des coordonnées qui sera vu au chapitre IV.


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On pourrait se demander pourquoi Mz ne peut être mesuré directement mais doit être ainsi basculé dans le plan transverse. Tout d’abord Mz génère un champ constant. Il y a moyen de mesurer des champs constants, au moyen d’une sonde Hall par exemple, mais le fait est que le faible Mz se voit complètement noyé dans le puissant champ magnétique B0, orienté lui aussi selon z. En le basculant à 90°, on gagne sur tous les tableaux : 1°) Il se retrouve dans une direction où il est seul, complètement dégagé de B0 ; 2°) Il se transforme en un champ transverse Mxy qui est un champ tournant. Or pour mesurer un champ tournant on dispose d’un moyen très efficace et très sensible qui est la loi de Faraday d’induction d’un signal dans une bobine ; 3°) Le courant induit dans l’antenne grâce à la loi de Faraday est porteur d’une information supplémentaire. Outre l’intensité du champ inducteur, il se caractérise par une fréquence d’oscillation qui est une véritable signature de la source du signal, à savoir le contenu en protons du tissu exploré.

En conclusion, à la suite d’une impulsion 90°, on obtient le résultat suivant, où Mz0 est l’aimantation longitudinale initiale :

 

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