I.A. Ondes ultrasonores.

1)Ondes progressives.

Une onde progressive est une onde qui, partant d'un point source ou d'une région source, se propage de point en point à une vitesse c caractéristique du milieu traversé. A l'exception remarquable de la lumière, qui se propage dans le vide, le milieu qui sert de support est un milieu matériel de nature élastique, c'est-à-dire qui tend à reprendre sa forme initiale quand il subit une déformation. Le milieu peut être à une dimension, comme une corde ou un ressort, à deux dimensions, comme un plan d'eau ou une membrane, ou à trois dimensions, comme c'est le cas pour le son ou les ondes sismiques. La propagation vient de ce que le mouvement qu'on impose à certains points matériels (atomes ou molécules) se communique de proche en proche, soit parce que chaque point matériel est lié à ses voisins par des forces chimiques de cohésion et que par là il les entraîne avec lui dans son déplacement, soit parce que l'impulsion reçue est suivie de chocs mécaniques avec les atomes proches et que par là il y a transfert d'énergie cinétique.

Une onde progressive est dite transversale quand le mouvement des points matériels est perpendiculaire à la direction de propagation de la perturbation: C'est le cas d'une corde qu'on agite ou de vaguelettes sur un plan d'eau. Elle est dite longitudinale quand le mouvement se fait dans la même direction que la direction de propagation: C'est le cas du son, dont la nature sera décrite ci-dessous. Certains systèmes peuvent générer simultanément une composante transversale et une composante longitudinale, de vitesses différentes: C'est le cas du ressort hélicoïdal ou des ondes sismiques.

2)Equation d'une onde progressive.

Quand la perturbation qui se propage est une oscillation de type sinusoïdal, les maximums, par exemple, s'éloignent tous de la source à la même vitesse c et sont donc régulièrement espacés. La plus petite distance entre deux d'entre eux, comme à vrai dire entre toute paire de points analogues, est la longueur d'onde λ. Dans le dessin ci-dessous, u₀ est l'amplitude de l'oscillation, transversale en l'occurrence, et la droite des x un axe choisi arbitrairement parmi toutes les directions de propagation de l'onde.

Parcourir la distance λ à la vitesse c demande un temps T qui est la période de l'onde, paramètre auquel on préfère d'habitude son inverse, la fréquence f=1/T. L'unité SI de fréquence est le Hertz (symbole Hz), égal à une oscillation complète par seconde, ou cycle par seconde. Tout cela est relié par l'équation du mouvement rectiligne uniforme λ=cT (distance parcourue = vitesse x temps), ou encore:

Pour un type d'onde donné, la vitesse ne dépend que du milieu traversé, et donc l'équation ci-dessus montre que le produit longueur d'onde fois la fréquence ne peut changer. Une onde de basse fréquence présente une grande longueur d'onde, alors qu'une onde de haute fréquence présente une courte longueur d'onde.

Soit à présent une source oscillant de manière sinusoïdale avec une amplitude u₀. Si on y place l'origine de l'axe (x=0) et si on choisit t=0 quand elle est à son maximum (cos(0)=1), son mouvement est décrit par u(x=0,t)=u₀cosωt, où ω=2πf est appelé pulsation. Dans ce cas, le mouvement d'un point matériel situé à la position x est donné par:

…où k=2π/λ est le nombre d'ondes.

[

Pour retrouver cela il suffit de considérer que le mouvement du point est le même que celui qu'avait la source en un temps Δt antérieur, à savoir le temps nécessaire à l'onde pour parcourir la distance x à la vitesse c. Donc u(x,t) = u₀ cosω(t – Δt) avec Δt=x/c=x/(λf) et ωΔt = 2πx/λ. Par ailleurs, le lecteur intéressé vérifiera facilement que la formule ci-dessus est une solution correcte pour ce qu'on appelle l'équation d'onde, véritable loi de base dans la discipline, qui s'écrit:

]

La formule donnée plus haut pour u(x,t) est dite équation des ondes progressives. Elle fait apparaître le double aspect ondulatoire de ce type d'ondes, à savoir une oscillation temporelle d'une part, caractérisée par la période T, et une oscillation spatiale d'autre part, caractérisée par la longueur d'onde λ. L'image des "ronds dans l'eau" provoqués par la chute d'une pierre sur un plan d'eau illustre bien cela: Un bouchon situé à une certaine distance x oscille dans le temps selon la période T; la phase est donnée par x puisqu'un bouchon situé un peu plus loin oscillerait de la même manière mais avec un décalage. D'un autre côté, une photo prise en un temps t montre les points en surface disposés sinusoïdalement selon x avec une distance λ entre deux crêtes; la phase est donnée par t puisqu'une photo prise un peu plus tard montrerait la même ondulation …décalée.

3)Le son.

Une onde sonore est une onde progressive de pression, capable de traverser tout milieu élastique de nature solide, liquide ou gazeuse. Dans l'air par exemple, une membrane en vibration provoque dans un premier temps une compression des molécules situées dans son voisinage et les projette vers l'avant. Les chocs mécaniques de ces premières molécules avec les suivantes vont propager la zone de compression de proche en proche. Pendant ce temps, la membrane aura entamé un mouvement vers l'arrière, ce qui crée une zone désertée et provoque un rappel des molécules voisines. De proche en proche on verra ainsi se déplacer, à la suite de la zone de compression, une zone de raréfaction (En réalité, contrairement à un solide, il n'y a pas dans un gaz de véritable force de rappel. C'est l'agitation thermique des molécules qui tend en permanence à rééquilibrer les populations des régions voisines). Au total, on retrouve là les caractéristiques d'une onde longitudinale, avec pour demi-longueur d'onde la distance entre une région densifiée et une région raréfiée.

La vitesse du front d'onde est souvent notée c, pour "célérité", de façon à la distinguer de v=∂u/∂t, vitesse d'une particule qui varie donc sinusoïdalement. c dépend uniquement du milieu au travers de deux de ses caractéristiques, à savoir sa densité ρ₀ (densité du milieu non perturbé par l'onde sonore) et son module d'élasticité isostatique B.

[

Le module d'élasticité isostatique est l'un des six modules d'élasticité qui caractérisent les milieux homogènes, modules parmi lesquels deux seulement sont indépendants. Quand on impose à un bloc de matière une contrainte (force appliquée par cm², donc l'équivalent d'une pression) qui provoque une déformation élastique (à savoir une déformation qui disparaît quand la contrainte disparaît), il y a proportionnalité entre contrainte et déformation. Le coefficient de proportionnalité est le module d'élasticité.

Contrainte = module x déformation

Par exemple quand on exerce une traction sur une tige métallique, la déformation est un allongement et le module associé est le module de Young E. Dans le cas du son, la contrainte est la variation de pression qui propage l'onde et la déformation se décrit comme la variation de volume d'une petite masse d'air lors de la compression.

Comme on le voit, B a les dimensions d'une pression et s'exprime donc en pascals. A noter que dans le cas des gaz, on lui préfère souvent son inverse, le coefficient de compressibilité χ=1/B

]

Le lien entre c, ρ₀ et B s'écrit:

Quand un matériau est facile à comprimer, B est faible, et inversement. Si on compare l'air et l'acier par exemple, ce dernier a beau être de très loin le plus dense, c'est son caractère hautement incompressible qui l'emporte et qui fait qu'en définitive le son s'y déplace beaucoup plus vite que dans l'air (c_acier ≈ 6000m/s, alors que c_air=340m/s à 20°C).

En échographie ce qui importe c'est la vitesse dans les différents tissus du corps humain. Le tableau ci-dessous en donne quelques exemples (d'après Bushberg et al.: voir bibliographie)

Quand une onde sonore passe d'un milieu 1 vers un milieu 2, sa fréquence reste inchangée. Se rappelant que c=λf, cela veut dire que si la vitesse diminue lors de ce passage, la longueur d'onde diminue également, alors qu'elle augmente si la vitesse augmente.

La reconstruction des images échographiques se base de façon critique sur le temps d'aller retour des échos sonores. La technique est donc forcée de faire l'hypothèse d'une valeur précise pour c, et la convention veut qu'on retienne la valeur de 1540m/s, valeur moyenne de celles qu'on trouve dans la plupart des tissus mous.

c_échog. = 1540m/s

4)La gamme des ultrasons.

L'oreille humaine est sensible à une gamme de fréquences sonores (gamme acoustique) comprise entre 15Hz et 20kHz, et c'est donc au-delà de 20 kHz que s'étend la gamme des ultrasons. L'échographie médicale travaille typiquement entre 2MHz et 15MHz. En prenant la vitesse de référence c=1540m/s, valable pour les tissus mous, on obtient par c= λf une longueur d'onde de 0,77mm pour 2MHz et 0,1mm pour 15MHz.

Le choix de telle ou telle valeur de fréquence dépend de considérations qui seront développées dans la suite. En gros, une fréquence élevée procure une meilleure résolution, ceci grâce à sa courte longueur d'onde, mais se voit limitée par contre en profondeur de pénétration parce que soumise à une absorption rapide. A l'inverse, les fréquences basses permettent une exploration plus en profondeur, mais avec une résolution moindre.