III.A. L'effet Doppler.

1)Principe.

Soit une onde émise d'un point S (la source) et captée en un point R (le récepteur). Si S et R sont immobiles l'un par rapport à l'autre, le récepteur perçoit une fréquence f_R égale à la fréquence f_S émise par la source. Par contre s'il y a mouvement relatif de l'un par rapport à l'autre, f_R n'est plus égale à f_S: Elle est plus élevée si S et R se rapprochent, et plus basse si S et R s'éloignent. C'est l'effet Doppler.

L'effet Doppler acoustique peut s'expérimenter dans différentes circonstances de la vie quotidienne. Par exemple lors d'un reportage TV sur un Grand Prix F1, et pour peu que le reporter se trouve à proximité de la piste, le bruit de moteur d'un bolide qui s'approche paraît plutôt aigu… pour glisser brusquement vers les basses lorsqu'il passe près du micro et s'éloigne.

L'effet Doppler optique a connu son heure de gloire en astronomie, puis en cosmologie, en apportant ni plus ni moins qu'un des grands arguments à l'appui de la théorie du big bang: La lumière émise par les galaxies lointaines est décalée vers le rouge (red shift), et ce d'autant plus qu'elles sont plus éloignées, ce qui veut dire qu'elles s'éloignent toutes les unes des autres et que donc l'univers est en expansion.

Supposons dans un premier temps un mouvement relatif aligné sur la droite qui joint S et R. En notant c la vitesse de l'onde, v_S la vitesse (éventuelle) de la source et v_R la vitesse (éventuelle) du récepteur, le lien entre f_R et f_S est donné par l'équation suivante, qui sera démontrée au §2:

…où les signes supérieurs valent pour un rapprochement et les signes inférieurs pour un éloignement. Ce qu'on appelle la fréquence Doppler f_D est la différence entre f_R et f_S:

Dans le cas de l'échographie du corps humain, l'effet Doppler est surtout utilisé en imagerie vasculaire, où les cellules sanguines servent de réflecteur à l'onde ultrason. La vitesse du sang est au plus de 2m/s, valeur très faible comparée aux 1540m/s pour la propagation de l'onde, de sorte que par rapport à c, v_R peut être négligé au dénominateur:

Par ailleurs, ce qui est particulier à l'échographie, c'est que l'effet joue deux fois: A l'aller de l'onde, la source est la sonde immobile (v_S=0) et les cellules mobiles du sang le récepteur, ou plutôt… le réflecteur, alors qu'au retour l'onde est issue de ces cellules réflectrices et captée par la sonde immobile (v_R=0). On a donc la somme de deux contributions:

Cela restitue la formule précédente, mais on aurait tort d'en oublier la raison! Pour cette même raison, la vitesse v du sang est celle v_R du récepteur à l'aller, comme celle v_S de la source au retour:

Enfin lorsque la veine, ou l'artère, est inclinée d'un angle θ par rapport à la ligne source/réflecteur, c'est la seule projection de v sur cette ligne qui doit intervenir. En prenant θ=0° pour un flux dirigé vers la source, on peut oublier le signe ± puisque cos0°=+1 pour un flux orienté vers la sonde, et cos180°=-1 pour un flux orienté à l'opposé.

L'effet est donc maximum, en valeur absolue, pour θ=0° ou 180°; il est nul pour un alignement du vaisseau perpendiculaire à la direction du faisceau (cos90°=0). S'il y a plusieurs vaisseaux dans le champ de vue, impliquant des vitesses et inclinaisons différentes, le signal est moyenné et l'information ambigüe, ce qui suppose qu'on privilégie les situations où un seul canal intervient ou domine les autres.

2)Démonstration.

Il s'agit ici de démontrer la toute première formule ci-dessus. Nous adoptons le cas très particulier d'un rapprochement franc (θ=0°) de la source et du récepteur, en précisant que, pour généraliser, il suffira de remplacer les vitesses v par leur projection vcosθ sur la direction qui relie R et S.

a.Source au repos, récepteur en mouvement

Quand la source et le récepteur sont au repos, ce dernier reçoit l'onde à la même fréquence que la fréquence d'émission. Si R se met en mouvement vers S, supposé restant au repos (v_S=0), il perçoit sur son chemin des ondulations supplémentaires, ondulations qui lui seraient parvenues plus tard s'il était resté immobile.

Le nombre d'ondulations supplémentaires qu'il perçoit par seconde représente par définition l'augmentation de la fréquence de perception, donc la fréquence Doppler f_D. Ce nombre est égal à la distance qu'il parcourt en une seconde (d=v_Rt=v_R pour t=1s), divisée par la longueur d'une ondulation (longueur d'onde λ). Comme on le voit sur le schéma ci-dessus, il s'agit bien de la longueur d'onde émise, égale donc à la vitesse c de l'onde divisée par la fréquence d'émission f_S.

De là:

b.Source en mouvement, récepteur au repos.

Quand S se déplace à la vitesse v_S vers R supposé immobile, la longueur d'onde envoyée vers R diminue, comme le montre le schéma ci-dessous. Etant donné que la vitesse c de l'onde est inchangée, la période T=λ/c sera plus faible à la réception qu'à l'émission.

Soit alors deux maximums de l'onde émis l'un à t=0 et l'autre à t=T_S, où T_S est donc par définition la période à l'émission. Pendant ce temps la source a parcouru la distance x=v_ST_s.

Pour atteindre R, le deuxième maximum doit parcourir une distance diminuée de x, ce qui lui demande un temps diminué de ΔT=x/c. On a donc:

Le récepteur R perçoit ainsi deux maximums consécutifs en un temps T_S diminué de ΔT, ce qui donne la période perçue T_R:

Ou en termes de fréquences f=1/T :

c.Généralisation

Si à la fois la source et le récepteur sont en mouvement de rapprochement l'un vers l'autre, on obtient, en combinant les résultats des § a et b:

S'il y a non pas rapprochement mais éloignement, il y a lieu de changer les signes qui apparaissent dans la parenthèse ci-dessus. De façon générale, si les vitesses sont inclinées d'un angle θ, ce sont leurs projections vcosθ qui doivent apparaître dans la formule, en prenant pour θ=0° la direction qui pointe de S vers R (pour v_S) ou de R vers S (pour v_R).