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Imagerie par résonance magnétique (IRM) |
Chapitre II: Préalables en mathématiques. |
II.A. Fonctions cycliques
1) Sinus et cosinus
Soit un cercle de rayon R=1 centré sur l’origine d’un système d’axes (x,y). Soit un rayon particulier qui intercepte le cercle en un point P et qui définit, avec le demi-axe des x positifs, un angle θ. Par définition, le cosinus (cos) et le sinus (sin) de cet angle θ sont respectivement les coordonnées x et y du point P.
On voit que lorsque θ vaut zéro (le point P est sur l’axe x), le cosinus vaut 1 et le sinus vaut 0. Lorsque θ augmente progressivement le cosinus commence par diminuer alors que le sinus augmente. Quand θ vaut π/2, ils valent respectivement 0 et 1, puis -1 et 0 pour θ=π, 0 et -1 pour θ=3π/2, pour reprendre leurs valeurs de départ 1 et 0 après un tour complet correspondant à θ=2π. Si θ balaie un deuxième tour de 2π radians, puis un troisième et ainsi de suite, les fonctions parcourent à nouveau les mêmes valeurs et cela indéfiniment, d’où le nom de fonction cycliques, ou périodiques. Un relevé plus complet de valeurs ferait apparaître les graphes très typiques de ces fonctions cosinus et sinus :
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II.B. Analyse de Fourier
1)Première approche
Joseph Fourier (1768-1830) est un mathématicien français qui a développé l’un des outils d’analyse mathématique les plus efficaces qui soient. Non seulement il a démontré que toute fonction peut-être décomposée en une suite de fonctions cycliques, ce qui sera détaillé ci-dessous, mais il a de plus fourni les formules qui permettent de retrouver les fréquences de ces fonctions. Ce qu’on appelle l’analyse de Fourier d’un signal, ou d’une image, ou de toute autre variable, revient donc à calculer les fréquences qui composent ce signal ou cette image, ainsi que les amplitudes associées qui ne sont somme toute que leurs facteurs de pondération. Dans le présent chapitre les exemples choisis supposeront tous une dépendance en fonction du temps. L’analyse de Fourier des images fera l’objet du chapitre suivant II.C, au travers de ce qu’on appelle l’espace des k.
L’exemple le plus simple est celui d’un cosinus pur u(t)=Acos(ωt), pour lequel l’analyse de Fourier donnera un spectre de fréquence « cosinus » c(ω) fort simple puisque réduit à la seule pulsation ω associée à l’amplitude A.
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II.C. Echantillonnage
1) Taux d'échantillonnage.
En imagerie médicale comme ailleurs, la plupart des mesures commencent par l'émission de signaux analogiques, qu'il s'agisse de la sortie d'un détecteur ou de manière générale de quelque capteur que ce soit. Un signal analogique se caractérise par une hauteur qui varie continûment dans le temps pendant un intervalle Δt non nul. Or, il est clair que l'enregistrement d'un signal de ce type comme de toute autre information ne se conçoit qu'au travers d'une série de nombres stockés dans des mémoires d'ordinateur, ce qui s'obtient ici en le sondant à intervalles réguliers, et en transformant en nombres les tensions ainsi mesurées (La transformation en nombre d'une tension en volts s'obtient par un CAD, convertisseur analogue-digital, ou ADC en anglais). La fréquence fE avec laquelle on sonde ainsi un signal électronique est dite "taux d'échantillonnage" ("sampling rate").
La période d'échantillonnage TE=1/fE est le temps qui sépare deux mesures. Si pendant ce temps la variation du signal est lente, alors l'information stockée représente assez bien la réalité. Par contre si pendant ce temps les variations sont rapides, le système ne peut les voir et de l'information est perdue[1]. Pour un signal simple de type sinus de fréquence f, on possède ainsi le critère de Nyquist, ou théorème de Shannon[2], selon lequel la fréquence d'échantillonnage doit être au moins égale au double de f (fE ≥ 2f), ce qui revient à dire que chaque oscillation (ou demi-période) doit être sondée au moins une fois. Si fE est inférieur à cette limite, le système sous-estimera la fréquence de l'onde, comme cela apparaît par simple effet visuel dans le schéma ci-dessous.
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II.D. L'espace k.
1) Le nombre d'onde k.
Un cosinus (ou un sinus) est une fonction mathématique utilisée par la physique pour décrire des oscillations de toute nature, angulaires, électromagnétiques ou autres, qui se développent dans le temps ou dans l'espace. Pour une oscillation temporelle, on y injecte conventionnellement une pulsation ω, une fréquence f=ω/2π ou une période T=1/f, ainsi qu'une phase φ.
De manière analogue on utilise pour une oscillation spatiale le long d'un axe x une longueur d'onde λ, ou un nombre d'ondes k=2π/λ, ainsi qu'une phase φ.
Un bon thème de réflexion à ce sujet est fourni par l'équation des ondes progressives, qui présente les deux aspects, temporel et spatial (voir §II.A.5):
Soit par exemple des ondes circulaires créées à la surface de l'eau par la chute d'une pierre, et soit un axe x à la surface dont l'origine est au point source: Un bouchon flottant situé au point de coordonnée ξ oscillerait dans le temps selon la première équation ci-dessus, la phase étant donnée par kξ, alors qu'une photo prise en un temps τ montrerait au long de x les points se disposer selon la deuxième équation ci-dessus, la phase étant donnée par ωτ.
2) Transformée spatiale.
Le chapitre II.B était consacré à la transformée de Fourier et se basait pour exemple sur un signal temporel, pour lequel la transformée fournit le spectre de toutes les fréquences qui le composent
