Physique pour la médecine

...la théorie!

Imagerie par   résonance magnétique (IRM)

Chapitre I: Préalables en   physique.

I.G Action d’un champ sur un moment.

 

1) Action sur une boucle de courant :alignement.

 

Quand une charge électrique se déplace dans un champ magnétique B, elle subit une force perpendiculaire à la fois à sa vitesse v et à B. Ce genre de force apparaît aussi quand un courant électrique i est plongé dans un champ, ceci découlant bien sûr de cela puisqu’un courant n’est rien d’autre qu’un déplacement de charges électriques. Pour un conducteur rectiligne de longueur l, la force est donnée par la formule de Laplace :


IRM IG 1


La direction de F est perpendiculaire à la fois à I et à B, son orientation dépend du sens de i et son intensité est fonction de l’angle θ d’inclinaison de I par rapport à B. En particulier la force est nulle si I est parallèle à B.

Soit à présent une boucle de courant de forme rectangulaire et dont les côtés haut et bas, de longueur b sont parallèles à B. Il apparaît que les côtés gauche et droit, de hauteur a, sont soumis à un couple de force qui tend à faire tourner la spire jusqu’à ce qu’elle soit exactement perpendiculaire aux champs. Dans cette situation finale le mouvement s’arrête parce que, les forces étant dans le même plan, le couple s’annule.


IRM IG 2


En fait la même séquence peut être décrite avec d’autres mots, d’une manière qui se révélera beaucoup plus pratique par la suite. Plutôt que de parler de forces agissant sur les côtés on peut dire qu’un couple de force agit sur le moment magnétique µ de la boucle pour l’aligner finalement sur B. Voir les choses ainsi permet déjà de généraliser le phénomène à n’importe quelle forme de boucle, en particulier une boucle circulaire.


IRM IG 3


[

On peut montrer que ce point de vue est exact. En mécanique un couple s’exprime comme le produit vectoriel de la distance séparant les points d’application des deux forces avec l’une d’entre elles. Pour la boucle rectangulaire vue un peu plus haut cette distance correspond au côté b :


IRM IG 4


En travaillant sur la norme, on obtient :


IRM IG 9

]


Ce qui donne en termes de vecteurs la formule suivante, qui peut-être considérée comme très générale et applicable à toute forme de boucle :


IRM IG 10


Cela est vrai aussi pour les aimants qui tendront également à s’aligner sur B .


IRM IG 5


2) Action sur un spin :précession.


En mécanique, la loi de base qui décrit l’action d’un moment de force, ou ici un couple, s’écrit C=dL/dt, où L est le moment cinétique du système. En français on dira que le couple est responsable de la variation du moment cinétique total. C’est l’équivalent pour la rotation de l’équation de Newton F=dp/dt en translation, où p=mv est la quantité de mouvement totale.

Comme pour tout vecteur, il y a deux façons de modifier le vecteur moment cinétique : Soit modifier sa norme (le système tourne de plus en plus vite ou de plus en plus lentement), soit modifier sa direction (l’axe de rotation change de direction). Encore une fois cela est vrai aussi pour l’équation de Newton : l’accélération centripète décrit un changement de direction de la vitesse, et non pas de sa valeur, sous l’action d’une force centripète. Il faut toutefois préciser que le fait d’écrire C=dL/dt implique une chose qui doit rester vraie dans tous les cas, à savoir que dL sera dans la même direction que !

Dans le paragraphe précédent, et en supposant que la boucle de courant dont on parle est une boucle macroscopique, à notre échelle, c’est la norme de L qui change. Si la boucle était immobile au départ, le moment cinétique était nul. En allumant le champ B, le couple de forces décrit plus haut fait apparaître un L non nul et le système se met à tourner autour de cet axe.


IRM IG 6


Quand il s’agit de décrire l’action d’un champ sur une particule élémentaire, la situation est différente car l’objet en question possède déjà un moment cinétique L, ou plutôt un spin S en l’occurrence, dont il n’est pas question de changer la norme ni l’inclinaison par rapport à B, ces deux valeurs étant imposées par la mécanique quantique. L’équation C=dS/dt impliquera cette fois pour le spin un changement en direction et non pas en norme. Cela ne fait pas de problème puisque C est exactement perpendiculaire au moment magnétique, donc à S.


IRM IG 7


Comme dS reste en permanence perpendiculaire à S et que celui-ci doit garder son inclinaison, l’extrémité du vecteur va décrire un cercle et le vecteur lui-même décrira un cône. Ce type de mouvement est appelé mouvement de précession. Il est bien connu dans le cas des toupies, où la force impliquée est la gravitation et où l’inclinaison constante vient du principe gyroscopique de conservation du moment d’inertie. La terre elle-même connaît cela : Son axe de rotation qui aujourd’hui pointe l’étoile polaire décrit en réalité en 26000 ans un cercle qui entoure la constellation du dragon.

La fréquence avec laquelle le spin tourne autour de l’axe principal est dite fréquence de Larmor fL. Elle dépend de l’intensité du champ et du facteur gyromagnétique γ défini au §I.F.3.

 

fL = ωL/2π   avec    ωL = γ B

 

Dans la formule ci-dessus on a fait apparaître la pulsation ωL qui est souvent préférée à la fréquence.

[

La formule ωL=γB peut-être démontrée de la façon suivante. Par définition ωL représente la vitesse de variation dφ/dt de l’angle φ apparaissant dans la figure ci-dessous.


IRM IG 8


Dans cette même figure on voit aussi que Δφ≈ΔS/(S sinθ), approximation qui n’en est plus une pour des angles très petits dφ=dS/(S sinθ). Cela donne :


IRM IG 11


Selon l’équation de la rotation on a C=dS/dt, où le couple C est le produit vectoriel du moment dipolaire µ et du champ B (§I.G.1).


IRM IG 12


Or µ/S représente par définition le rapport gyromagnétique γ, et donc :

 

ωL = γ B

]


3) En IRM


Pour ce qui est du §1, il explique au passage pourquoi un imageur IRM en fonctionnement génère un bruit élevé, au point que le patient doive être équipé d’un casque protecteur. Les bobines de gradient disposées latéralement à l’intérieur du solénoïde tendent à basculer vers la direction du champ lorsqu’elles sont parcourues par un courant. Bien entendu elles ne peuvent le faire puisqu’elles sont solidement attachées aux parois. Il n’empêche que des contraintes apparaissent dans la structure, contraintes qui varient, s’annulent, s’inversent au gré des gradients imposés, ce qui provoque des vibrations importantes. Cette gêne s’est accentuée avec les séquences IRM modernes qui activent ou annulent les gradients à un rythme soutenu.

Le sujet du §2 est quant à lui fondamental dans la théorie de l’IRM. Les mouvements de précession des protons à la fréquence de Larmor qui leur est propre sont la base même de la technique comme cela sera longuement expliqué au chapitre III.