Physique pour la médecine

...la théorie!

Imagerie par   résonance magnétique (IRM)

Chapitre I: Préalables en   physique.

 

I.E. Moment cinétique et spin.


1) Moment cinétique de rotation.


 Le « moment cinétique », ou « moment angulaire », est une notion de mécanique associée à tout système en rotation autour d’un axe. On le décrit comme un vecteur L aligné sur l’axe de rotation, dans le sens donné par la « règle du tire-bouchon » (un tire-bouchon qui adopterait la même rotation progresserait dans le sens de L), et dont la norme L=Iω est le produit de la vitesse angulaire ω du système et de son moment d’inertie I. (En supposant que tous les points du système tournent à la même vitesse angulaire). Il est à la rotation ce que la quantité de mouvement p=mv est à la translation.

 

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+) La vitesse angulaire ω est le nombre de radians balayés par seconde. Sachant qu’un tour complet correspond à 2π radians, le lien avec la fréquence f de rotation (nombre de tours par seconde) est ω = 2πf. En IRM, il n’est pas rare que ω soit appelé « fréquence ». En général cela ne prête pas à confusion, même s’il s’agit là d’un abus de langage.

+) Pour un objet ponctuel qui tournerait sur une orbite de rayon r, par exemple un électron en orbite, sa vitesse v exprimée en m/s est donnée par v=ωr.

+) Le moment d’inertie I évalue la dispersion de la masse autour de l’axe de rotation. Il est à la rotation ce que la masse simple est à la translation: Il mesure la difficulté avec laquelle ce type de mouvement peut être modifié. Pour des systèmes quelconques il est souvent difficile à atteindre puisqu’il s’agit d’évaluer l’intégrale

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où r est la distance à l’axe d’un élément de masse dm et où l’intégrale doit courir sur tout le système.

 

 

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  +) Pour des systèmes simples le résultat est en général connu. On démontre par exemple que pour une sphère homogène tournant autour d’un de ses axes principaux, le moment est donné par I=(2/5)MR² où M est la masse totale et R le rayon de la sphère. On pourrait être tenté d’appliquer ce résultat à des particules élémentaires comme le proton, qu’on s’imagine souvent avec cette géométrie. On verra plus loin qu’il faut renoncer à cette approche.

     +) Un cas particulièrement intéressant, puisqu’il s’applique à un électron en orbite atomique, est celui où un objet «petit» de masse m tourne à une distance r d’un axe. Dans ce cas  l’intégrale se réduit immédiatement à I=mr². On en déduit que le moment cinétique « orbital » d’un électron vaut L = Iω = (mr²)(v/r) = mvr. Ce résultat découle d’un raisonnement très « physique classique » ; il devra être complété par les lois de la mécanique quantique, abordées au paragraphe suivant.

Les deux paragraphes suivants reprennent et précisent les deux points précédents en se concentrant définitivement sur les particules élémentaires intéressantes en IRM : électron et surtout proton.

 

2) Moment cinétique orbital de l’électron.

 

Comme signalé plus haut, le moment cinétique d’un électron en orbite autour d’un atome doit répondre à des lois issues directement de la mécanique quantique (historiquement d’ailleurs, c’est en imposant une loi quantique au moment cinétique que Niels Bohr a développé le modèle d’atome qui porte son nom). Dans cette approche, L ne peut prendre que certaines valeurs très précises données par la loi :

 

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De plus, la projection Lz du moment cinétique sur un axe imposé, par exemple par un champ magnétique, ne peut prendre que les (2l+1) valeurs : -lћ, …….., lћ. L’exemple suivant montre les 5 projections possibles pour l=2 (Ce qui donne L = 61/2ћ et Lz = -2,-1,0,1,2ћ )



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3) Moment cinétique intrinsèque : le spin..

 

 

Les particules élémentaires (électron, proton,…) possèdent par ailleurs un moment angulaire « intrinsèque », noté S et appelé « spin ». Le mot « spin » évoque un système en rotation, et il est un fait qu’on évoque souvent à son propos l’image de particules en forme de sphères qui tourneraient sur elles-mêmes. C’est oublier que l’électron par exemple apparaît comme un objet parfaitement ponctuel, qu’une particule composée comme le pion, chargé ou non, n’a pas de spin, que le photon,qui lui n’a pas de masse, a par contre un spin, etc… De sorte que le plus raisonnable est sans doute d’admettre qu’il s’agit là d’une propriété interne aux particules, comme le sont leur masse et leur charge. Ceci-dit, une fois opéré ce détour par la réalité des choses, on n’hésitera pas à en revenir à l’image naïve d’une toupie en rotation, qui reste excellente pour supporter le raisonnement.

Le spin est quantifié de la même façon que le moment orbital :


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…à ceci-près que s peut cette fois être demi-entier. Les particules à spin entier forment la classe des BOSONS. C’est le cas du photon (s=1), du pion (s=0), de l’hypothétique graviton (s=2), etc… Les particules de spin demi-entier sont les FERMIONS. L’électron, le proton et le neutron, tous trois de s=1/2, appartiennent à cette catégorie. La différence entre bosons et fermions se marque au niveau de la statistique des populations de particules : Des bosons identiques peuvent occuper tous simultanément le même état d’énergie, alors que des fermions identiques ne peuvent jamais occuper le même état simultanément (Ce qui au niveau atomique permet à deux électrons, et deux seulement, d’occuper le même niveau d’énergie, pour peu qu’ils orientent leurs spins en sens opposés. On dira de ces électrons qu’ils sont appariés). Ceci est d’une importance considérable dans la constitution de la matière ! La table de Mendeleïev par exemple ne peut se comprendre autrement : Une orbitale occupée ne peut accepter de nouvel électron, lequel devra donc se trouver une place au niveau supérieur, etc…

 

 

4) En IRM.

 

Les notions évoquées dans ce chapitre sont vraiment au cœur de l’IRM, et ce à plus d’un titre : 1°) la propriété de la matière sur laquelle se fonde la technique est le spin des protons, 2°) le moment cinétique des électrons induit, comme on le verra, le très important phénomène de paramagnétisme, indispensable pour comprendre les temps de relaxation, les produits de contraste, etc…, 3°) variante du paramagnétisme, le ferromagnétisme explique l’efficacité avec laquelle les champs magnétiques agissent sur les métaux, donc les précautions à prendre lors des analyses, etc…

Toutefois, ces aspects nombreux et variés ne seront pleinement appréhendés que lorsque sera définie une propriété directement associée au moment cinétique des particules, à savoir leur moment magnétique : Ceci fait l’objet du prochain chapitre.

On retiendra que les conditions de quantification pour le spin ½ du proton impliquent S=0,866h et deux projections possibles selon z : Pour Sz = +1/2 on parle d’un état UP, et pour Sz=-1/2 on parle d’un état DOWN. On calcule facilement que dans les deux cas le moment de spin est incliné de 54,7° par rapport à l’axe z, puisque cos θ =Sz/S = (1/2)/√(3/4) = 1/√3


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