Physique pour la médecine

...la théorie!

Imagerie par   résonance magnétique (IRM)

Chapitre I: Préalables en   physique.

I.F. Le moment magnétique.

 

1) Moment d’une boucle de courant.

 

Le moment magnétique est une notion qui apparaît en électromagnétisme dès qu’un courant électrique se ferme sur lui-même pour former une boucle. On associe alors à ce courant i un vecteur  moment magnétique µ défini comme suit (on supposera ici que la surface sous-tendue par la boucle est une surface plane): 1°) une direction perpendiculaire au plan de la boucle ; 2°) un orientation donnée par la règle du tire-bouchon (un tire-bouchon qui tournerait dans le sens du courant progresserait dans le sens du moment magnétique) ; 3°) sa norme µ=iS est le produit du courant i par la surface de la boucle.


IRM IF 2


2) Moment magnétique orbital d’un électron..

 

Un électron en orbite autour de l’atome forme un courant électrique en forme de boucle. On rappellera que par convention un courant électrique tourne en sens opposé du déplacement de charges négatives, de sorte que le vecteur moment magnétique orbital est ici opposé au vecteur moment cinétique.


IRM IF 3


Malgré qu’on soit ici dans le monde quantique, le raisonnement classique qui suit permet de prédire correctement le moment orbital de l’électron, dans le cas simple de l’atome d’hydrogène et du niveau fondamental n=1 :

1°) Le point de départ est la formule donnée ci-dessus pour le moment d’un boucle de courant µ=iS.

2°) Or la surface de l’orbite vaut πr², où r est le rayon de Bohr (orbitale fondamentale de l’atome H)

3°) Le courant i, quantité de charge passant par seconde en un point, est donné par la charge e de l’électron multiplié par le nombre de tours qu’il effectue par seconde, à savoir sa vitesse divisée par le périmètre de l’orbite. Si sa vitesse est v, on obtient i = ev/(2πr)

4°) Donc µ= evπr²/(2πr) = evr/2

5°) En mécanique classique, le moment cinétique orbital vaut L=mvr (§E.1), donc vr=L/m et µ=eL/(2m)

6°) En appliquant la condition de Bohr pour la quantification de L, on a L=nh=h pour n=1

On obtient ainsi ce qu’on appelle le magnéton de Bohr µb :


IRM IF 4


Le magnéton de Bohr relie donc µ et L pour l’état fondamental de l’hydrogène :


IRM IF 5


3) Moment magnétique de spin.

 

Certaines particules possèdent aussi un moment magnétique intrinsèque associé à leur spin. A priori il s’agit des particules chargées et la tentation est donc forte de se représenter cette propriété comme venant de ce que la rotation des particules implique la formation de boucles de courant dans le volume de la particule. Ici aussi il faut se méfier de ce genre d’image : L’électron et le neutron ont un moment magnétique, alors que le premier est une particule très ponctuelle et que le second est …électriquement neutre.

En ce qui concerne l’électron il est d’usage de prendre le magnéton de Bohr comme référence pour exprimer le moment intrinsèque, qui est du point de vue vectoriel anti-aligné sur le spin S comme le moment orbital était ci-dessus anti-aligné sur L:


IRM IF 6


...où g est appelé facteur de Landé pour l’électron. Sa valeur g=2,0023 n’est pas évidente à justifier par un raisonnement classique. C’est la mécanique quantique qui l’explique correctement.

Chose qui deviendra particulièrement importante pour le proton en IRM, le rapport entre µe et S est le facteur gyromagnétique γe :


IRM IF 7


Pour les nucléons, proton et neutron, on définit le magnéton nucléaire par pure analogie avec le magnéton de Bohr où on remplace la masse de l’électron par la masse du proton :


IRM IF 8


Pour le proton on a gp=5,586 et pour le neutron on a gn=-3,826, ce qui donne µp =gpµN/2= 1,411 10-26 J/T et µn = -0,966 10-26 J/T.

Le facteur gyromagnétique pour le proton, qui sera souvent rencontré plus loin vaut


γp = 2,675 108 rad.s-1.T-1 = (2π) 42,576 MHz/T

 

4) Moment magnétique atomique..

 

Le moment magnétique total d’un atome est une combinaison complexe des moments orbitaux des électrons et de leurs moments de spin. Le résultat de cette combinaison est important en soi puisqu’il définit fondamentalement les propriétés magnétiques de la matière. Ainsi, si le vecteur résultant est nul, le corps se révélera éventuellement diamagnétique mais certainement pas paramagnétique. Un moment résultant non nul impliquera le paramagnétisme.

Etant donné que les facteurs gyromagnétiques ne sont pas les mêmes pour les composantes orbitales (§F.2) et pour les composantes de spin (§F.3), le moment magnétique total de l’atome n’est pas aligné sur le moment cinétique total.


IRM IF 9


5) Moment magnétique nucléaire.

 

Dans un noyau, les moments des protons et des neutrons se combinent selon des règles peu évidentes, d’autant plus difficiles à décrire que la structure nucléaire est bien moins connue que la structure atomique. La seule règle vraiment simple veut que les noyaux dits «pairs-pairs » (nombre pair de protons et nombre pair de neutrons) ont un moment nul, ce qui traduit le fait que tous les nucléons sont appariés deux à deux et que dans une paire les deux moments magnétiques sont opposés l’un à l’autre et se neutralisent. C’est le cas par exemple du carbone-12.

Le tableau suivant présente une liste de quelques noyaux intéressants et indique pour chacun d’eux le rapport gyromagnétique.

 

Noyau

γ/2π (MHz/T)

1H (proton)

42.576

3He

-32.434

13C

10.705

14N

3.077

31P

17.235

 

6) Dipôles magnétiques.


Le paragraphe A montrait que les lignes de champ se développent de la même manière autour d’une boucle de courant et autour d’un aimant. Les aimants possèdent aussi un moment dipolaire magnétique µ, qu’on se représente comme un vecteur partant du pôle sud et pointant le pôle nord. La formule µ=iS n’ayant pas de sens ici on le définit comme le produit µ=pd de la distance d séparant les pôles par un « poids » magnétique p qu’on leur attribue, définition semblable au produit qd pour un dipôle électrique formé de charges q de signes contraires.


IRM IF 1


L’expression « moment magnétique dipolaire » est transposable à ce qui a été vu ci-dessus : Les boucles de courant sont des dipôles ; les particules élémentaires sont des dipôles du point de vue magnétique comme elles sont des monopôles du point de vue électrique. On ne connaît pas de particule qui soit un monopôle magnétique (un pôle nord ou un pôle sud isolé) mais la recherche dans ce domaine est active car d’importantes théories fondamentales supposent que de tels objets existent. On n’hésitera donc pas à se représenter des protons par exemple de façon un peu naïve comme de petits aimants, même si dans la réalité c’est plutôt l’inverse : Les propriétés des aimants viennent de ce qu’ils sont composés au niveau atomique de boucles de courant alignées les unes sur les autres.

Ce sont les pôles magnétiques qui génèrent le champ associé de façon analogue aux charges électriques générant le champ correspondant. Mais alors que les charges électriques génèrent un champ qui varie en 1/r², celui qui provient d’un dipôle varie en 1/r3. On peut le voir en retravaillant la formule du §I.C.2 pour exprimer B en fonction de µ (rappel : z est la distance sur l’axe de la boucle et R le rayon de celle-ci).

 

IRM IF 10

 

Alors qu’un champ en 1/z² porte à l’infini, une variation en 1/z3 en réduit la portée à des distances beaucoup plus courtes et pratiquement limite les interactions à la région avoisinante. Ici encore l’analogie avec l’électricité s’impose : La molécule d’eau par exemple est un dipôle électrique et n’agit localement que sur les molécules voisines. Mais cette action locale, connue comme l’une des principales forces dites de Van derWaals, explique bien des propriétés de l’eau.


7) En IRM.


L’IRM concerne quasi exclusivement l’atome d’hydrogène, simple proton dont le moment et le rapport gyromagnétique apparaîtront comme des paramètres fondamentaux du système. La technique peut aussi s’envisager pour les noyaux plus complexes dont le moment résultant est non nul, mais plus que l’IRM c’est la RMN qui exploite largement cette possibilité en analyse des matériaux.

On notera aussi la grande différence dans les valeurs des magnétons de référence pour l’électron et pour le proton. Elles révèlent que le magnétisme atomique est très supérieur au magnétisme nucléaire. Ceci explique en partie les phénomènes de relaxation en ce sens qu’une molécule paramagnétique pourra facilement perturber un proton dans son voisinage (action locale). En particulier on trouvera là un critère important dans le choix des substances de contraste susceptibles d’agir sur les temps de relaxation.